BioSejo

esto es —como [casi] diría Voet,D. et al. en el subtítulo de su libro de bioquímica— "Mi Vida a Nivel Molecular"… blog de sejo con colaboración de la sejoina, la sejosa, la sejasa, el sejinTriFosfato, y otras c-osas y cos-inas más

Después de un rato de ausencia, me vi motivado por un tweet de Fernando Cepeda (@fcpda) y por algunos comentarios de Rodrigo Franco (@HrodricMartel) para escribir esto 🙂

Un número diferente de cero elevado a la potencia cero tiene como resultado el número 1, siempre. Muchos (¿o más bien será “algunos”?) conocemos este dato, pero muchos no sabrían explicarlo a pesar de que la justificación es sencilla. Antes de exponerlo conviene recordar algunas cosas básicas sobre lo que las “potencias” significan. Sé que lo que sigue no es matemáticamente formal, pero sirve para divulgar el punto…

¿Qué son las potencias?

De la misma forma que la multiplicación surge como un operador para simplificar la suma de un número consigo mismo varias veces (2*1 es una suma donde 2 aparece una vez, 2*2 la suma 2+2, etc.), la potenciación, o elevar un número A a otro número B (es decir, A^B), nace para colocar B veces el número A en una multiplicación.

Por ejemplo, 2^1 = 2 porque estamos colocando al 2 una vez en una multiplicación, 2^2 = 2*2 = 4 porque lo estamos colocando dos veces, 2^3 = 2*2*2 = 8, y así sucesivamente.

Jugando con ellas…

Sacando nuestro espíritu de curiosidad nos podemos preguntar, ¿qué pasa si multiplicamos por ejemplo (2^2)*(2^3)? Esta operación sería igual a (2*2)*(2*2*2) = 2*2*2*2*2 = 2^5. Podemos ver que 5, el exponente resultante, es igual a 3+2, los exponentes originales.

Por esto se plantea que un número A elevado a una potencia B multiplicado por el mismo número A elevado a una potencia C, es igual al número A elevado a la suma de B y C: (A^B)*(A^C) = A^(B+C)

Ahora podemos cuestionarnos qué es lo que sucede al jugar con esos números B y C, por ejemplo si alguno de los dos es negativo…

¿Qué resulta de (2^5)*(2^-3)? A sería 5 y B sería -3, y si aplicamos lo que encontramos arriba, tendríamos que (2^5)*(2^-3) = 2^(5-3) = 2^2. Es decir, (2*2*2*2*2)*(2^-3) = 2*2.

De tener cinco 2 multiplicándose, nos quedamos con sólo dos, lo que sólo puede significar que (2^-3) implica dividir tres veces entre 2:, lo que hace que se cumpla (2^5)*(2^-3) = (2*2*2*2*2)/2/2/2 = (2*2*2*2*2)/(2*2*2) = 2*2. Entonces, (2^-3) = 1/(2*2*2) = 1/(2^3)

Extrapolando el resultado (sería induciendo, aunque no estamos haciendo inducción formal), A^-B  = 1/(A^B)

Elevando a la cero

Si retomamos que (A^B)*(A^C) = A^(B+C), y seguimos con el juego de curiosidad y búsqueda de conocimiento, nos podemos preguntar ¿qué sucede cuando B y C tienen el mismo valor pero uno es negativo y el otro positivo? O sea cuando C = -B

Sustituimos y llegamos a lo que nos interesa en este post: (A^B)*(A^-B) = A^(B-B) = A^0 ¿Cuál es el resultado de esta operación?

Como A^-B  = 1/(A^B), entonces A^0 = (A^B)*(A^-B) = (A^B)/(A^B), es decir, un número A^B dividido por sí mismo.

Recordemos que si dividimos un número X entre otro Y (es decir X/Y), lo que estamos preguntando es ¿Qué número multiplicado por Y hace que el resultado sea X? Si X y Y son iguales y entonces planteamos X/X, la respuesta a esa pregunta es 1, porque X*1 = X

Entonces, A^0 = (A^B)*(A^-B) = (A^B)/(A^B) = 1, la respuesta que aplica con todos los números EXCEPTO CON EL CERO.

Las potencias del cero

¿Por qué con el cero no? Con lo que dijimos arriba, cero elevado a un número positivo da cero: 0^1 = 0, 0^2 = 0*0 = 0, 0^3=0*0*0 = 0, etc. Multiplicar cualquier número, incluyendo cero, por cero, da cero porque podría verse como “sumar cero veces ese número”, o “sumar al cero ese número de veces”, que en cualquier caso es cero.

El problema viene con los exponentes negativos. 0^-1 = 1/0, 0^-2 = 1/(0^2) = 1/0, etc. Lo que estamos haciendo es dividir entre cero, ¡y dividir entre cero está indefinido!

Con base en lo que dijimos sobre la división, si dividimos un número A entre cero, estamos preguntando ¿Qué número multiplicado por cero da A? Como cualquier número multiplicado por cero da cero, entonces esa pregunta no tiene una respuesta… Entonces, NO PODEMOS ELEVAR EL CERO A POTENCIAS NEGATIVAS

Y por si no es convincente, probemos la operación 0^0. Por lo que dijimos arriba 0^0 = (0^A)*(0^-A) = (0^A)/(0^A) = 0/0. ¿y cuánto es cero entre cero? o ¿qué número multiplicado por cero da cero? como cualquier número multiplicado por cero da cero, esa pregunta tiene infinitas respuestas… de nuevo la operación está indefinida, y NO PODEMOS RESPONDER CUÁNTO ES CERO A LA CERO.

Concretamente

Lo que se rescata del post es que

  1. Cualquier número diferente de cero elevado a la cero da uno porque A^0 = A^(B-B) = (A^B)*(A^-B) = (A^B)/(A^B) = 1
  2. El cero no se puede elevar a números negativos ni a la cero porque la división entre cero no está definida

Insisto, esta explicación definitivamente no es formal y seguramente tiene huecos, pero sirve para tener la idea básica de este principio matemático…

Se agradecen sus comentarios para ver si sirvo para escribir de estas cosas jajajaja, y si sí, para escribir sobre alguno que otro dato… 😛

¡Saludos!

Justo estos días había estado preguntando y reflexionando acerca de nuestro conocimiento en la primaria: “si no sabíamos álgebra, cómo pensábamos?”

Obviamente no implicando que siempre pienso o pensamos en términos algebraicos, sino refiriéndome a que es una estructura mental a la que es difícil desacostumbrase.

El caso es que con lo mágica que es la vida, sucedió algo curioso, ayer mi hermana (que va en 6o de primaria), llegó conmigo para pedir ayuda con el siguiente problema:

(paráfrisis sejísta):

Llega un gavilán con un grupo de varias palomas, y sorprendido les comenta que nunca había visto -como en ese momento- 100 aves juntas. Las palomas le dicen que no son 100, que lo serían si se contara a ellas, de nuevo a ellas, a la mitad de ellas, a un cuarto de ellas, y al gavilán, todos juntos. Cuántas palomas son?

Eso evidentemente con álgebra está muy fácil (al menos así me parece con el nivel que tengo), le dije a mi hermana que sabía hacerlo con álgebra, y mentalmente lo resolví y le respondí rápidamente. Se plantea que 2x + x/2 +x/4 +1 = 100, lo cual factorizado queda (11/4)x = 99, obteniendo que x=36.

Ahora el problema era hacer eso mismo, pero sin usar “x”, ni despejes, “ni na” de eso. Decía mi hermana que les dijeron que había que plantearlo gráficamente, con una recta. Como sea a mi me parece más claro con cuadrados, poner que dos cuadrados, más medio cuadrado, más un cuarto de cuadrado, más 1, da 100. O bueno, que la suma de los cuadrados (cuadrados gráficos y literalmente, ja) da 99.

Después de pensar un poco, llegué a la solución. Tenemos cuatro “componentes” distintos, y queremos saber cuántas palomas de esas 99 hay en uno de los dos componentes mayores; no podemos dividir 99 entre 4 porque los cuatro componentes son diferentes. Y he ahí la clave, hay que encontrar una unidad que homologue a los cuatro componentes. Cuál es? Es el cuarto de cuadrado. Así, en total tendremos dos veces cuatro cuartos por los dos cuadrados (2*4=8), más 2 cuartos del medio, más 1 del solito, lo cual en total es 11. Entonces, se puede decir que tenemos 11 componentes iguales, que al sumar sus palomas, da 99. Pregunta de primaria (ja), Cuántas palomas tiene cada cuadrito, si son 11 cuadritos y en total son 99 palomas?

Eso se resuelve con una división (lo cual, un poco sin pensar, pregunté a mi hermana si sabía hacer, jeje), resultando que cada cuadrito tiene 9 palomas (99/11=9). Ahora, si un componente mayor tiene cuatro cuadritos, y cada cuadrito tiene 9 “cuántas palomas tendrá en total?”.  4*9 = 36.

Estuvo interesante, porque además está en un nivel tan básico que puede resolverse sólo con saber sumar y restar

Qué tal?

Fin abrupto