BioSejo

esto es —como [casi] diría Voet,D. et al. en el subtítulo de su libro de bioquímica— "Mi Vida a Nivel Molecular"… blog de sejo con colaboración de la sejoina, la sejosa, la sejasa, el sejinTriFosfato, y otras c-osas y cos-inas más

Después de un rato de ausencia, me vi motivado por un tweet de Fernando Cepeda (@fcpda) y por algunos comentarios de Rodrigo Franco (@HrodricMartel) para escribir esto 🙂

Un número diferente de cero elevado a la potencia cero tiene como resultado el número 1, siempre. Muchos (¿o más bien será “algunos”?) conocemos este dato, pero muchos no sabrían explicarlo a pesar de que la justificación es sencilla. Antes de exponerlo conviene recordar algunas cosas básicas sobre lo que las “potencias” significan. Sé que lo que sigue no es matemáticamente formal, pero sirve para divulgar el punto…

¿Qué son las potencias?

De la misma forma que la multiplicación surge como un operador para simplificar la suma de un número consigo mismo varias veces (2*1 es una suma donde 2 aparece una vez, 2*2 la suma 2+2, etc.), la potenciación, o elevar un número A a otro número B (es decir, A^B), nace para colocar B veces el número A en una multiplicación.

Por ejemplo, 2^1 = 2 porque estamos colocando al 2 una vez en una multiplicación, 2^2 = 2*2 = 4 porque lo estamos colocando dos veces, 2^3 = 2*2*2 = 8, y así sucesivamente.

Jugando con ellas…

Sacando nuestro espíritu de curiosidad nos podemos preguntar, ¿qué pasa si multiplicamos por ejemplo (2^2)*(2^3)? Esta operación sería igual a (2*2)*(2*2*2) = 2*2*2*2*2 = 2^5. Podemos ver que 5, el exponente resultante, es igual a 3+2, los exponentes originales.

Por esto se plantea que un número A elevado a una potencia B multiplicado por el mismo número A elevado a una potencia C, es igual al número A elevado a la suma de B y C: (A^B)*(A^C) = A^(B+C)

Ahora podemos cuestionarnos qué es lo que sucede al jugar con esos números B y C, por ejemplo si alguno de los dos es negativo…

¿Qué resulta de (2^5)*(2^-3)? A sería 5 y B sería -3, y si aplicamos lo que encontramos arriba, tendríamos que (2^5)*(2^-3) = 2^(5-3) = 2^2. Es decir, (2*2*2*2*2)*(2^-3) = 2*2.

De tener cinco 2 multiplicándose, nos quedamos con sólo dos, lo que sólo puede significar que (2^-3) implica dividir tres veces entre 2:, lo que hace que se cumpla (2^5)*(2^-3) = (2*2*2*2*2)/2/2/2 = (2*2*2*2*2)/(2*2*2) = 2*2. Entonces, (2^-3) = 1/(2*2*2) = 1/(2^3)

Extrapolando el resultado (sería induciendo, aunque no estamos haciendo inducción formal), A^-B  = 1/(A^B)

Elevando a la cero

Si retomamos que (A^B)*(A^C) = A^(B+C), y seguimos con el juego de curiosidad y búsqueda de conocimiento, nos podemos preguntar ¿qué sucede cuando B y C tienen el mismo valor pero uno es negativo y el otro positivo? O sea cuando C = -B

Sustituimos y llegamos a lo que nos interesa en este post: (A^B)*(A^-B) = A^(B-B) = A^0 ¿Cuál es el resultado de esta operación?

Como A^-B  = 1/(A^B), entonces A^0 = (A^B)*(A^-B) = (A^B)/(A^B), es decir, un número A^B dividido por sí mismo.

Recordemos que si dividimos un número X entre otro Y (es decir X/Y), lo que estamos preguntando es ¿Qué número multiplicado por Y hace que el resultado sea X? Si X y Y son iguales y entonces planteamos X/X, la respuesta a esa pregunta es 1, porque X*1 = X

Entonces, A^0 = (A^B)*(A^-B) = (A^B)/(A^B) = 1, la respuesta que aplica con todos los números EXCEPTO CON EL CERO.

Las potencias del cero

¿Por qué con el cero no? Con lo que dijimos arriba, cero elevado a un número positivo da cero: 0^1 = 0, 0^2 = 0*0 = 0, 0^3=0*0*0 = 0, etc. Multiplicar cualquier número, incluyendo cero, por cero, da cero porque podría verse como “sumar cero veces ese número”, o “sumar al cero ese número de veces”, que en cualquier caso es cero.

El problema viene con los exponentes negativos. 0^-1 = 1/0, 0^-2 = 1/(0^2) = 1/0, etc. Lo que estamos haciendo es dividir entre cero, ¡y dividir entre cero está indefinido!

Con base en lo que dijimos sobre la división, si dividimos un número A entre cero, estamos preguntando ¿Qué número multiplicado por cero da A? Como cualquier número multiplicado por cero da cero, entonces esa pregunta no tiene una respuesta… Entonces, NO PODEMOS ELEVAR EL CERO A POTENCIAS NEGATIVAS

Y por si no es convincente, probemos la operación 0^0. Por lo que dijimos arriba 0^0 = (0^A)*(0^-A) = (0^A)/(0^A) = 0/0. ¿y cuánto es cero entre cero? o ¿qué número multiplicado por cero da cero? como cualquier número multiplicado por cero da cero, esa pregunta tiene infinitas respuestas… de nuevo la operación está indefinida, y NO PODEMOS RESPONDER CUÁNTO ES CERO A LA CERO.

Concretamente

Lo que se rescata del post es que

  1. Cualquier número diferente de cero elevado a la cero da uno porque A^0 = A^(B-B) = (A^B)*(A^-B) = (A^B)/(A^B) = 1
  2. El cero no se puede elevar a números negativos ni a la cero porque la división entre cero no está definida

Insisto, esta explicación definitivamente no es formal y seguramente tiene huecos, pero sirve para tener la idea básica de este principio matemático…

Se agradecen sus comentarios para ver si sirvo para escribir de estas cosas jajajaja, y si sí, para escribir sobre alguno que otro dato… 😛

¡Saludos!